25 марта 2025 года Норвежская академия наук объявила лауреата Абелевской премии. Впервые ее получил японец — известный в области теории представлений и алгебраического анализа Масаки Касивара. Он разработал теории модулей и представлений, теоремы о конструктивности и индексах, изменивших современные представления о квантовой физике и математике.
Родившийся в небольшом городе Юки недалеко от Токио, Касивара с детства увлекался математическими загадками. Так, одной из его любимых головоломок была так называемая «задача цурукамезана», в которой по числу конечностей нужно понять, скольким журавлям и черепахам они могут принадлежать (от этих японских названий этих животных образовано и название задачи).
Ученый получил образование в Токийском университете, где под руководством Микио Сато исследователи разработали основы теории система дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Тогда же Касивара начал сотрудничать с известным французским математиком Пьером Шапира, с которым напишет в дальнейшем не одну статью. Окончив Токийский университет, он с 1978 года работал в исследовательском институте в области математических наук при Киотском университете. Там ученый заложил основы теории модулей, доказал рациональность корней-функций, а спустя 30 лет упорного труда был назначен директором института. За свою жизнь Масаки Касивара стал автором более 250 научных статей и соавтором еще 70-ти. Несмотря на то, что в 2010 году он официально вышел на пенсию, исследователь продолжает заниматься тайнами математики, сохраняя свой «абстрактный и эзотерический», по мнению коллег, подход. Благодаря использованию инструментов и знаний из разных, на первый взгляд не связанных, областей математики ученому удается создавать новые теории, находить доказательства и предлагать необычные подходы к решению задач.
Одни из самых известных статей Касивары были посвящены развитию разновидности теории симметрии — теории представлений. Она позволяет представить абстрактные алгебраические объекты вроде групп в виде матриц или линейных преобразований. Группы в этой теории — это набор симметрий. При этом сами симметрии в этом разделе математики тоже не выглядят привычно для обычного человека. Они скорее напоминают пазл, в котором перестановка деталей не мешает получить то же изображение в конце. Иными словами, симметрия позволяет менять объекты местами, сохраняя общую суть картины.
Тем не менее группы, состоящие из набора симметрий, тяжело сочетать между собой. Более того, с ними в принципе сложно проводить с ними какие-либо операции — это всегда требует большой вычислительной мощности, а в расчетах часто возникают ошибки. Чтобы операции с группами алгебраических объектов было легче производить, ученые решили перевести эти элементы на язык более «простой», с точки зрения вычислений, математики — на язык матриц и линейных преобразований, сохраняя главные свойства изначальной модели.
Классическая теория представлений была разработана еще в конце девятнадцатого века и стала самостоятельной ветвью математики уже к 1930-м годам. Вклад Касивары позволил применять эту операцию «представления» алгебраических групп в виде матриц и линейных преобразований для еще большего количества групп. Благодаря его трудам, теория представлений теперь может быть применима к группам с бесконечным количествам измерений и даже для математических конструкций и вовсе группами не являющимися.
«Все, кто занимался теорией представлений за последние 35 лет, использовали его работы», — рассказал Оливье Шиффманн, математик из Университета Париж-Сакле, соавтор работ Касивары.
Другим важным достижением Касивары является разработка так называемой кристаллической основы для квантовых групп. Это помогает описать все возможные возможные симметричные состояния молекулы. Кристаллическая основа — это алгоритм, который систематизирует их в виде графа или решетки. В квантовой физике, в которой математики работают с математическими конструкциями, не являющимися группами, кристаллическая основа также позволяет быстро и в удобном формате находить симметрии.
Масаки Касивара также внес значительный вклад в алгебраический анализ, позволяющий с помощью методов современной алгебры обобщать и структурировать дифференциальные уравнения. Так, например, он разработал технику микроклонального анализа, которая позволяет рассматривать особенности решения дифференциальных уравнений и функций в фазовых пространствах, использующихся в квантовой физике и физике распространения волн. Помимо этого, ученый создал теорию модулей, которая обобщает элементы линейной алгебры, что очень важно для точных и энергоемких вычислений в алгебраической топологии и теоретической физике. За долгие годы изучения математики в честь Касивары были названы теоремы о конструктивности и теорема об индексе. Теорема о конструктивности Касивары также относится к дифференциальным уравнениям и помогает доказывать конечность пространств решений, что также имеет большое значение для алгебраической геометрии. Теорема Касивары об индексах в свою очередь связывает аналитические и алгебраические свойства дифференциальных операторов, позволяя вычислять индекс дифференциальных операторов. В честь ученого были также названы операторы Касивары — специальные дифференциальные операторы, действующие на пространствах функций. Они применяются не только при решении сложных дифференциальных уравнений, но и в квантовой механике и теории представлений алгебр Ли.
«Он мастер сочетать методы геометрии, алгебры и математического анализа для создания новых идей и взаимосвязей между дисциплинами», — комментирует награждение математик Хельге Холден, глава комитета Абелевской премии.
Именно эта необычная способность объединять разные подходы для создания новых математических инструментов, описывающих мир вокруг нас, и привела Масаки Касивару к получению одной из самых престижных премий в области математики. Ученый стал первым в своей стране, кто удостоился этой награды и приза в 715 тысяч долларов. И это лишь одна из десятков престижных премий, врученных Касиваре за его долгую карьеру. Так, помимо японских научных наград в 2024 и 2023 годах Касивара удостоился премии «Грани науки» Международного конгресса фундаментальных наук. Он также является автором и соавтором нескольких книг, одну из которых — «Пучки на многообразиях» (1990) — он и по сей день считает одним из главных своих трудов.
Подписывайтесь на InScience.News в социальных сетях: ВКонтакте, Telegram, Одноклассники.
